Question

8．已知g（x）=bx²+cx+1，f（x）=x²+ax+lnx+1，g（x）在x=1處的切線為y=2x
（1）求b，c的值
（2）若a=-3，求f（x）的極值
（3）設h（x）=f（x）-g（x），是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]，（e≈2.718，為自然常數(shù)）時，函數(shù)h（x）的最小值為3．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得2b+c=2，b+c+1=2，解得b，c即可；
（2）求出f（x）的導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，即可得到極值；
（3）求出h（x）的導數(shù)，討論①當a≥0時，②當a＜0時，當-$\frac{1}{e}$≤a＜0時，當a≤-$\frac{1}{e}$時，通過單調性判斷函數(shù)的最值情況，即可判斷是否存在．

解答 解：（1）g（x）=bx²+cx+1的導數(shù)為g′（x）=2bx+c，
g（x）在x=1處的切線斜率為2b+c，
由g（x）在x=1處的切線為y=2x，
則2b+c=2，b+c+1=2，
解得b=1，c=0；
（2）若a=-3，則f（x）=x²-3x+lnx+1，
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
當x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=1處，f（x）取得極小值，且為-1，
x=$\frac{1}{2}$處，f（x）取得極大值，且為-$\frac{1}{4}$-ln2．
（3）h（x）=f（x）-g（x）=x²+ax+lnx+1-（x²+1）=ax+lnx，
①當a≥0時，h（x）在（0，e]遞增，x=e處取得最大值，沒有最小值；
②當a＜0時，h′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
若e≤-$\frac{1}{a}$即-$\frac{1}{e}$≤a＜0，則h′（x）＞0，h（x）遞增，則有最大值，沒有最小值；
若e＞-$\frac{1}{a}$即a≤-$\frac{1}{e}$，則在0＜x＜-$\frac{1}{a}$，h′（x）＞0，h（x）遞增，
在-$\frac{1}{a}$＜x＜e，h′（x）＜0，h（x）遞減．
則有x=-$\frac{1}{a}$處取得極大值，且為最大值，沒有最小值．
故不存在實數(shù)a，當x∈（0，e]，（e≈2.718，為自然常數(shù)）時，
函數(shù)h（x）的最小值為3．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值和最值，同時考查存在性問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．