Question

 

設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,    

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

因為,

所以,

, 

①當時

因為所以,

所以,

所以當且僅當時取”=”.    

②  當時,.

③  當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,

綜上, |AB |的取值范圍為即:

【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.