Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)$P（{\sqrt{2}，\;1}）$在C上，且PF₂⊥x軸．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓外，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，點(diǎn)$P（{\sqrt{2}，\;1}）$在C上，且PF₂⊥x軸，可知$c=\sqrt{2}$，$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，由此可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，等價于x₁x₂+y₁y₂＞0，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可建立不等式，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$c=\sqrt{2}$，∴a²-b²=2①
又點(diǎn)$P（{\sqrt{2}，\;1}）$在C上，∴$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$②（1分）
聯(lián)立①②可得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$                （3分）
故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．                    （ 4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{OA}=（{{x_1}，\;{y_1}}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x_2}，\;{y_2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$得3x²+4mx+2m²-4=0                （5分）
由△=16m²-12（2m²-4）=-8m²+48＞0得$-\sqrt{6}＜m＜\sqrt{6}$${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{3}$                    （7分）
從而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（{x_1}+m）（{x_2}+m）$=$2{x_1}{x_2}+m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{4{m^2}-8}}{3}-\frac{{4{m^2}}}{3}+{m^2}$=$\frac{{-8+3{m^2}}}{3}$                   （9分）
依題意有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，故$\frac{{-8+3{m^2}}}{3}＞0$，
解得${m^2}＞\frac{8}{3}$，即$m＜-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$或$m＞\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$                  （11分）
故m的取值范圍是$（{-\sqrt{6}，\;-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}）∪（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;\sqrt{6}}）$．                          （12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理解題．