Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+a．
（1）若b=a-1求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）若f（x）在（1，3）上存在零點，求$\frac{f（1）}{f（-1）}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對對稱軸進(jìn)行分類討論，看其與兩個端點的距離，確定最值．
（2）構(gòu)造新函數(shù)，換元，確定單調(diào)性，由$\frac{a}$的范圍得到值域．

解答 解：（1）∵b=a-1
∴函數(shù)f（x）的對稱軸是x=$\frac{1-a}{2a}$
①a≥1時，f（x）最大值為f（1）=3a-1
②-1＜a＜1，且a≠0時，f（x）最大值為f（-1）=a+1
③a≤-1時，f（x）的最大值是f（$\frac{1-a}{2a}$）=$\frac{3{a}^{2}+2a-1}{4a}$
綜上所述f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{3a-1}&{a≥1}\\{a+1}&{-1＜a＜1，且a≠0}\\{\frac{3{a}^{2}+2a-1}{4a}}&{a≤-1}\end{array}\right.$．
（2）∵f（x）在（1，3）上存在零點
∴-$\frac{a}$=x+$\frac{1}{x}$，
∴2＜-$\frac{a}$＜$\frac{10}{3}$，
令y=$\frac{f（1）}{f（-1）}$=$\frac{2a+b}{2a-b}$=$\frac{2+\frac{a}}{2-\frac{a}}$
令t=$\frac{a}$∈（-$\frac{10}{3}$，-2）
∴函數(shù)y是單調(diào)遞增的，
∴y的值域是（-$\frac{1}{4}$，0）．

點評 本題考查分類討論，構(gòu)造新函數(shù)，換元，確定單調(diào)性，由$\frac{a}$的范圍得到值域．