Question

（2013•天津）已知首項(xiàng)為

3

2

的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 證明Sn+

1

Sn

≤

13

6

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得2S₃=-2S₂+4S₄，變形為S₄-S₃=S₂-S₄，進(jìn)而求出公比q的值，代入通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出Sn=1-(-

1

2

)n，代入Sn+

1

Sn

再對(duì)n分類進(jìn)行化簡(jiǎn)，判斷出S_n隨n的變化情況，再分別求出最大值，再求出Sn+

1

Sn

的最大值．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差數(shù)列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=-

1

2

，
∵a1=

3

2

，∴an=

3

2

•(-

1

2

)n-1=(-1)n-1•

3

2n

；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，S_n=

3 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=1-(-

1

2

)n，
∴Sn+

1

Sn

=1-(-

1

2

)n+

1

1-(- 1 2 )n

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn+

1

Sn

=1+(

1

2

)n+

1

1+( 1 2 )n

=1+

1

2n

+

2n

1+2n

=2+

1

2n(2n+1)

，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn+

1

Sn

=1-(

1

2

)n+

1

1-( 1 2 )n

=2+

1

2n(2n-1)

，
∴Sn+

1

Sn

隨著n的增大而減小，
即Sn+

1

Sn

≤S1+

1

S1

=

13

6

，且Sn+

1

Sn

≤S2+

1

S2

=

25

12

，
綜上，有Sn+

1

Sn

≤

13

6

(n∈N*)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差（等比）數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的基本性質(zhì)等，考查了分類討論的思想、運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力．