Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$，判斷函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 先利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上是單調(diào)增函數(shù)，再求它的最值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$=2-$\frac{1}{x+1}$，
∴任取x₁、x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（2-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$）-（2-$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）
=$\frac{1}{{x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$
=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$；
∵1≤x₁＜x₂≤4，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間[1，4]上是單調(diào)增函數(shù)，
它的最大值是f（4）=$\frac{2×4+1}{2+1}$=3，
最小值是f（1）=$\frac{2×1+1}{1+1}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性以及利用單調(diào)性求最值問題，是基礎(chǔ)題目．