Question

9．某市教育局邀請教育專家深入該市多所中小學，開展聽課，訪談及隨堂檢測等活動．他們把收集到的180節(jié)課分為三類課堂教學模式：教師主講的為A模式，少數學生參與的為B模式，多數學生參與的為C模式，A、B、C三類課的節(jié)數比例為3：2：1．
（Ⅰ）為便于研究分析，教育專家將A模式稱為傳統課堂模式，B、C統稱為新課堂模式．根據隨堂檢測結果，把課堂教學效率分為高效和非高效，根據檢測結果統計得到如下2×2列聯表（單位：節(jié)）

	高效	非高效	總計
新課堂模式	60	30	90
傳統課堂模式	40	50	90
總計	100	80	180

請根據統計數據回答：有沒有99%的把握認為課堂教學效率與教學模式有關？并說明理由．
（Ⅱ）教育專家用分層抽樣的方法從收集到的180節(jié)課中選出12節(jié)課作為樣本進行研究，并從樣本中的B模式和C模式課堂中隨機抽取2節(jié)課，求至少有一節(jié)課為C模式課堂的概率．
參考臨界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
其中n =a +b +c +d）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由列聯表中的數據計算隨機變量k²的觀測值，由臨界值表中數據得出統計分析；
（Ⅱ）求出樣本中B、C模式的課堂各有幾節(jié)，用列舉法計算基本事件數，求出對應的概率．

解答 解：（Ⅰ）由列聯表中的統計數據計算隨機變量k²的觀測值為：
∵k²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
=$\frac{18{0（60×50-40×30）}^{2}}{（60+40）（30+50）（60+30）（40+50）}$=9＞6.635
由臨界值表P（k²≥6.635）≈0.010，
∴有99%的把握認為課堂效率與教學模式有關；  …（6分）
（Ⅱ）樣本中的B模式課堂和C模式課堂分別是4節(jié)和2節(jié)，
分別記為B₁、B₂、B₃、B₄、C₁、C₂，從中取出2節(jié)課共有15種情況：
（C₁，B₁），（C₁，B₂），（C₁，B₃），（C₁，B₄），（C₂，B₁），（C₂，B₂），
（C₂，B₃），（C₂，B₄），（C₁，C₂），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，B₄），
（B₂，B₃），（B₂，B₄），（B₃，B₄）  …（8分）
至少有一節(jié)課為C模式課堂的事件為
（C₁，B₁），（C₁，B₂），（C₁，B₃），（C₁，B₄），（C₂，B₁），（C₂，B₂），
（C₂，B₃），（C₂，B₄），（C₁，C₂）共9種；   …（10分）
∴至少有一節(jié)課為C模式課堂的概率為P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．   …（12分）

點評 本題考查了2×2列聯表的應用問題，也考查了分層抽樣方法的應用問題以及用列舉法求古典概型的概率的應用問題，是基礎題目．