Question

11．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直．AB=$\sqrt{2}$，AF=1．M是線段EF的中點
（1）求證：BD⊥AM
（II）求證：AM∥平面BDE；
（III）求三棱錐A-BDF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明BD⊥平面ACEF，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出BD⊥AM．
（2）取AC，BD交點O，連結(jié)OE，則四邊形AOEM是平行四邊形，得到AM∥OE，推出AM∥平面BDE．
（3）以△ABD為棱錐底面，則棱錐的高為FA，代入體積公式計算．

解答 證明：（I）∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，
∴BD⊥平面ACFE，∵AM?平面ACEF，
∴BD⊥AM．
（II）設(shè)AC，BD交于點O，連結(jié)EO．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=$\frac{1}{2}AC$，
∵M(jìn)是EF中點，∴ME=$\frac{1}{2}$EF，
∵四邊形ACEF是矩形，∴AC=EF，AC∥EF．
∴AO∥ME，AO=ME，
∴四邊形AOEM是平行四邊形，
∴AM∥OE，∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（III）V_棱錐A-BDF=V_棱錐F-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•FA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{（\sqrt{2}）}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考出查了線面平行，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，幾何體的體積計算，屬于中檔題．