Question

（2012•廣東模擬）如圖，P是拋物線C：y=

1

2

x2上橫坐標(biāo)大于零的一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P處的切線垂直，直線l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線l的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求過(guò)點(diǎn)P，Q，O的圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率，從而可得直線l的斜率，即可求出直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），求出直線l的方程為 y-

1

2

x

2 0

=-

1

x0

(x-x0)，利用

OP

•

OQ

=0，可得過(guò)點(diǎn)P，Q，O的圓的圓心為PQ的中點(diǎn)，將直線與拋物線聯(lián)立，即可求出PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的半徑，從而可得過(guò)點(diǎn)P，Q，O的圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）把x=2代入y=

1

2

x2，得y=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．…（1分）
由 y=

1

2

x2，①得y'=x，
∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k_切=2，…（2分）
直線l的斜率k₁=-

1

k切

=-

1

2

，…（3分）
∴直線l的方程為y-2=-

1

2

(x-2)，即x+2y-6=0…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），則y0=

1

2

x

2 0

．
∵過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k_切=x₀，因?yàn)閤₀≠0．
∴直線l的斜率k₁=-

1

k切

=-

1

x0

，
直線l的方程為 y-

1

2

x

2 0

=-

1

x0

(x-x0)．②…（5分）
設(shè)Q（x₁，y₁），且M（x，y）為PQ的中點(diǎn)，
因?yàn)?span id="jby0xef" class="MathJye">

OP

•

OQ

=0，所以過(guò)點(diǎn)P，Q，O的圓的圓心為M（x，y），半徑為r=|PM|，…（6分）
且x0x1+y0y1=x0x1+

1

4

x02x12=0，…（8分）
所以x₀x₁=0（舍去）或x₀x₁=-4…（9分）
聯(lián)立①②消去y，得x2+

2

x0

x-xo2-2=0
由題意知x₀，x₁為方程的兩根，
所以x0x1=-x02-2=-4，又因?yàn)閤₀＞0，所以x0=

2

，y₀=1；
所以x1=-2

2

，y₁=4…（11分）
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，∴

x=- 2 2 y= 5 2 .

…（12分）
∴r2=(x-x0)2+(y-y0)2=

27

4

…（13分）
所以過(guò)點(diǎn)P，Q，O的圓的方程為(x+

2

2

)2+(y-

5

2

)2=

27

4

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線切線的方程，考查向量知識(shí)，考查圓的方程，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線聯(lián)立，確定圓的圓心的坐標(biāo)與半徑．