Question

13．若變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y≤0}\\{x-2y+3≥0}\\{x≥0}\end{array}}$，則2^x+y的最大值為8，$\frac{y+1}{x-2}$的取值范圍$[-3，-\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
設(shè)z=x+y，
由z=x+y得y=-x+z，平移直線y=-x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
直線y=-x+z的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-2y+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y=1+2=3．
此時(shí)2^x+y的最大值為2³=8．
設(shè)k=$\frac{y+1}{x-2}$，
則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（2，-1）的斜率，
由圖象知，AD的斜率最小為k=$\frac{2+1}{1-2}$=-3，
OD的斜率最大為k=$\frac{1}{-2}$=$-\frac{1}{2}$，
故-3$≤k≤-\frac{1}{2}$，
故答案為：8，$[-3，-\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．