Question

8．已知f（x）=ax³+3x²-1存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）．

Answer 1

分析 討論a的取值范圍，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)極值和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（i）當(dāng)a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)f（x）有兩個零點，舍去．
（ii）當(dāng)a≠0時，f′（x）=3ax²+6x=3ax（x+$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或-$\frac{2}{a}$．
①當(dāng)a＜0時，-$\frac{2}{a}$＞0，當(dāng)x＞-$\frac{2}{a}$或x＜0，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜-$\frac{2}{a}$時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴故x=-$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極大值點，0是函數(shù)f（x）的極小值點．

∵函數(shù)f（x）=ax³+3x²-1存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則f（-$\frac{2}{a}$）=-$\frac{8}{{a}^{2}}$+$\frac{12}{{a}^{2}}$-1=$\frac{4}{{a}^{2}}$-1＜0，
即a²＞4得a＞2（舍）或a＜-2．
②當(dāng)a＞0時，-$\frac{2}{a}$＜0，當(dāng)x＜-$\frac{2}{a}$或x＞0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)-$\frac{2}{a}$＜x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴x=-$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極大值點，0是函數(shù)f（x）的極小值點．
∵f（0）=-1＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上存在一個零點，此時不滿足條件．
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）．
故答案為：（-∞，-2）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．