Question

（2010•通州區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax²e^x，其中a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）；（Ⅱ）求f（x）的極大值．

Answer 1

分析：（I）利用乘積的導(dǎo)數(shù)的計算法則求導(dǎo)即得；
（II）先求f′（x）=0的值，發(fā)現(xiàn)需要討論a的正負(fù)，分別判定在f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極大值點與極小值點，求出極值．

解答：解：（I）f′（x）=axe^x（x+2），
（II）由（I）知：f′（x）=axe^x（x+2），
（i）當(dāng)a＞0時，
當(dāng)f′（x）＞0時，得x＞0或x＜-2；
當(dāng)f′（x）＜0時，得-2＜x＜0；
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，0）；
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）．（5分）
故當(dāng)x=-2時，f（x）有極大值，其極大值為f（-2）=4ae^-2．（6分）
（ii）當(dāng)a＜0時，
當(dāng)f′（x）＜0時，得x＞0或x＜-2；
當(dāng)f′（x）＞0時，得-2＜x＜0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，0）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）．（5分）
故當(dāng)x=0時，f（x）有極大值，其極大值為f（0）=0．（6分）

點評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查分類討論的思想在解題中的應(yīng)用．