Question

20．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求F（x）的零點
（2）若關(guān)于x的方程F（x）=2m²-3m-5在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡F（x）=2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$確定函數(shù)F（x）的定義域，從而在定義域內(nèi)確定方程F（x）=0的解即可．
（2）y=x+1與y=$\frac{1}{1-x}$在區(qū)間[0，1）上均為增函數(shù)，從而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性，從而分類討論即可．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，
∴F（x）=2f（x）+g（x）
=2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$解得，
函數(shù)F（x）的定義域為（-1，1），
令F（x）=0得，
2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$=0，
故2log_a（x+1）=log_a（1-x），
故（x+1）²=1-x，
故x²+3x=0，
解得，x=0或x=-3，
故F（x）的零點為0；
（2）∵y=x+1與y=$\frac{1}{1-x}$在區(qū)間[0，1）上均為增函數(shù)，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，
①當(dāng)a＞1時，函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在區(qū)間[0，1）上是增函數(shù)，
②當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在區(qū)間[0，1）上是減函數(shù)；
∴關(guān)于x的方程F（x）=2m²-3m-5在區(qū)間[0，1）最多有一解，
∵關(guān)于x的方程F（x）=2m²-3m-5在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，
①當(dāng)a＞1時，函數(shù)F（x）在區(qū)間[0，1）上是增函數(shù)且F（0）=0，
$\underset{lim}{x→1}$F（x）=+∞，
故只需使2m²-3m-5≥0，
解得，m≤-1或m≥$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)F（x）在區(qū)間[0，1）上是減函數(shù)且F（0）=0，
$\underset{lim}{x→1}$F（x）=-∞，
故只需使2m²-3m-5≤0，
解得，-1≤m≤$\frac{5}{2}$；
綜上所述，當(dāng)a＞1時，m≤-1或m≥$\frac{5}{2}$；
當(dāng)0＜a＜1時，-1≤m≤$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．