Question

18．已知函數(shù)滿足f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}$，當(dāng)x∈[-1，1]時f（x）=|x|，那么函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)f（x）=|log₅x|的圖象的交點(diǎn)共有（　　）

• A． 4個
• B． 5個
• C． 6個
• D． 7個

Answer 1

分析 先畫出函數(shù)y=f（x）在一個周期[-1，1]內(nèi)的圖象，函數(shù)f（x）的周期T=2，從而畫出函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象．再畫出函數(shù)y=|log₅x|的圖象，及根據(jù)其單調(diào)性即可求出交點(diǎn)的個數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)滿足f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}$，
∴f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期T=2．

先畫出x∈[-1，1]時，f（x）=x²的圖象，其值域?yàn)閇0，1]，再根據(jù)函數(shù)的周期T=2，可畫出函數(shù)y=f（x），（x∈R）的圖象；
再畫出函數(shù)y=|log₅x|的圖象，即把函數(shù)y=log₅x的在x軸下方的部分對稱的翻到x軸上方．
當(dāng)0＜x≤1時，函數(shù)f（x）=x²的圖象與y=-log₅x的圖象只有一個交點(diǎn)；
當(dāng)1＜x≤5時，∵0＜log₅x≤1，0≤f（x）≤1及單調(diào)性和圖象如圖所示：二函數(shù)有4個交點(diǎn)．
綜上共有5個交點(diǎn)．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)周期性，運(yùn)用圖象求解函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)，屬于中檔題．