Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，點M在邊BC上，△AMC₁是以點M為直角頂點的等腰直角三角形．

(1)求證：點M為邊BC的中點；

(2)求點C到平面AMC₁的距離；

(3)求二面角M-AC₁-C的大小．

Answer 1

(1)證明：∵△AMC₁為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，

∴AM⊥C₁M，且AM=C₁M，

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC．

∴C₁M在底面內(nèi)的射影為CM，AM⊥CM．

∵底面ABC為邊長為a的正三角形，

∴點M為BC邊的中點．

(2)解：過點C作CH⊥MC₁于H．

由(1)知AM⊥C₁M且AM⊥CM，

∴AM⊥平面C₁CM

∵CH在平面C₁CM內(nèi)，∴CH⊥AM，

∴CH⊥平面C₁AM．

由(1)知，AM=C₁M=a，

CM=a且CC₁⊥BC．

∴CC₁=a

∴

∴點C到平面AMC₁的距離為

(3)解：過點C作CI⊥AC₁于I，連HI，

∵CH⊥平面C₁AM，∴HI為CI在平面C₁AM內(nèi)的射影，∴HI⊥AC₁，

∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角．

在直角三角形ACC₁中，

，

∴sin∠CIH=，

∴∠CIH=45°∴二面角M-AC₁-C的大小為45°．