Question

15．已知p：$\frac{x-5}{x-3}≥2$，q：x²-ax≤x-a，若?p是?q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p真，解分式不等式求出集合A，若q真，解一元二次不等式求出B，由條件推出 B?A，進而得到a=1，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜3}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a∈∅}\end{array}\right.$，由此求得實數(shù)a的取值范圍

解答 解：由p：$\frac{x-5}{x-3}≥2$解得1≤x＜3，記A=[1，3）．
由q：x²-ax≤x-a，得到（x-a）（x-1）≤0，記解集為B
∴?p⇒?q得 q⇒p，
∴q是p的子集，
當a=1時，B={1}．
當a＞1時，B=[1，a]；當a＜1時，B=[a，1]，
∴a=1，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜3}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a∈∅}\end{array}\right.$，
解得1≤a＜3，
故a的取值范圍是[1，3）．

點評 本題主要考查分式不等式的解法，充分條件、必要條件、充要條件的定義和判斷方法，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．