Question

4．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時(shí)，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（Ⅰ）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明；
（Ⅱ）解不等式：f（2x-1）＜f（1-3x）；
（Ⅲ）若f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有的a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）利用f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，列出不等式組，即可求出不等式的解集．
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為m²-2am≥0，對(duì)a∈[-1，1]恒成立，通過①若m=0，②若m≠0，分類討論，判斷求解即可．

解答 解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]，∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{f（x1）+f（-x2）}{x1+（-x2）}$•（x₁-x₂），…（2分）
由已知得$\frac{f（x1）+f（-x2）}{x1+（-x2）}$＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴$\left\{\begin{array}{l}-1≤2x-1≤1\\-1≤1-3x≤1\\ 2x-1＜1-3x\end{array}\right.$…（6分）
∴不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|0≤x＜\frac{2}{5}}\right\}$．…（7分）
（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．∴在[-1，1]上，f（x）≤1．
問題轉(zhuǎn)化為m²-2am+1≥1，即m²-2am≥0，對(duì)a∈[-1，1]恒成立．…（9分）
下面來求m的取值范圍．設(shè)g（a）=-2m•a+m²≥0．
①若m=0，則g（a）=0≥0，對(duì)a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，則g（a）為a的一次函數(shù)，若g（a）≥0，對(duì)a∈[-1，1]恒成立，
必須g（-1）≥0且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
綜上，m=0 或m≤-2或m≥2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．