Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

2

，D是AC中點
（Ⅰ）求三棱錐B₁-BDC₁的體積；
（Ⅱ） 證明：AB₁⊥BC₁．

Answer 1

分析：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由AB=2，AA1=

2

，D是AC中點，能求出三棱錐D-B₁BC₁的高，由此利用等積法能求出三棱錐B₁-BDC₁的體積．
（2）分別取BB₁、B₁C₁、AB、BC的中點E，F(xiàn)，O，G，連接EF，OF，OE，GF，GO，由EF

∥

.

1

2

BC=

6

2

，OE

∥

.

1

2

AB1=

6

2

，OF=

3

，得到∠OEF是異面直線AB₁和BC₁所成的角或所成角的補角．由此利用余弦定理能證明AB₁⊥BC₁．

解答：（1）解：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AB=2，AA1=

2

，D是AC中點，
∴S△B1BC1=

1

2

×2×

2

=

2

，
三棱錐D-B₁BC₁的高h=

1

2

×

22-12

=

3

2

，
∴三棱錐B₁-BDC₁的體積
VB1-BDC1=VD-B1BC1=

1

3

×

2

×

3

2

=

6

6

．…（6分）
（2）證明：分別取BB₁、B₁C₁、AB、BC的中點E，F(xiàn)，O，G，
連接EF，OF，OE，GF，GO，
則EF

∥

.

1

2

BC=

6

2

，OE

∥

.

1

2

AB1=

6

2

，OF=

OG2+GF2

=

3

，
∴∠OEF是異面直線AB₁和BC₁所成的角或所成角的補角．
∵cos∠OEF=

( 6 2 )2+( 6 2 )2-( 3 )2

2× 6 2 × 6 2

=0，
∴∠OEF=90°，
∴AB₁⊥BC₁．…（12分）

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意等積法和余弦定理的合理運用．