Question

設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；

（2）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

 

Answer 1

（1），；（2）祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知及與的關系：，令n=1可求得的值，再將已知等式中的n換成n+1得，然后與已知式子：相減得到：，從而可得到：，這說明數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以就可寫出數(shù)列的通項公式，再代入就可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）的結果，結合就可得到數(shù)列的通項公式，如果其前n項和可求，則先求出其前n項和再與比較大��；若直接求和比較難辦，則注意思考先用放縮法將數(shù)列的通項公式放大成一個可求和的數(shù)列，則小于此數(shù)列的前n項和，而此此數(shù)列的前n項和恰好是小于或等于的，因此在放大的時候一定要注意適當放大且能求和是關鍵．

試題解析：（1）當時， 1分

又 3分

∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 4分

∴， 6分

（2）由得 7分

10分

又 當時，，， 11分

當時，

∴對任意正整數(shù)都有。 14分

考點：１．等比數(shù)列；２．數(shù)列求和；３．不等式的證明．