Question

甲、乙二人做射擊游戲，甲、乙射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件.規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對(duì)方接替射擊.已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為，且第一次由甲開(kāi)始射擊.

（1）求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率；

（2）求第4次由甲射擊的概率.

Answer 1

解析：假設(shè)甲射擊命中目標(biāo)為事件A.乙射擊命中目標(biāo)為事件B.

（1）前3次射擊中甲恰好擊中2次可列舉為下面事件AA，所求的概率為P=××=;“前3次射擊中甲恰好擊中2次”，其實(shí)隱含的條件是：第一次（甲射擊）命中、甲在第二次射擊也命中、在第三次射擊中沒(méi)有命中，即事件AA發(fā)生.事實(shí)上，因?yàn)榈谝淮危ㄓ杉咨鋼簦┤绻�出現(xiàn)，則第二次由乙射擊，出現(xiàn)B（第三次仍由乙射擊）或（第三次改由甲射擊），出現(xiàn)的事件分別為BB，AB；A，，都不滿(mǎn)足“前3次射擊中甲恰好擊中2次”，因此第一次（甲射擊）命中；再考慮第二次射擊，甲如果沒(méi)有擊中，則出現(xiàn)的事件為AB，A，也都不滿(mǎn)足“前3次射擊中甲恰好擊中2次”，因此甲在第二次射擊也命中；這樣第三次不能再命中，否則結(jié)果為AAA；

（2）第4次由甲射擊隱含條件為：第三次若由甲射擊，則必?fù)糁�；若由乙射擊，則必未擊中.逆推，可以將問(wèn)題列舉為下列事件：AAA、A、A、B.第4次由甲射擊的概率

P=()³+()²×+×()²+××=.

另解（1）問(wèn)，對(duì)立事件即“前 3次射擊中甲恰好擊中0、1、3次”，對(duì)應(yīng)事件為BB，B，，B，A，A，AAA，計(jì)算得，相減；

（2）第n+1次由甲射擊的概率為p_n+1對(duì)應(yīng)的事件包括“第n次由甲射擊擊中，第n+1次繼續(xù)由甲射擊”和“第n次由乙射擊沒(méi)有擊中，第n+1次由甲射擊”兩個(gè)事件，對(duì)應(yīng)概率分別為p_n、(1-)(1-p_n).因?yàn)檫@兩個(gè)事件是互斥的，則p_n+1=p_n+(1-)(1-p_n)=-p_n+,顯然p₁=1，則

p_n+1-=-(p_n-),數(shù)列{p_n-}是分別以、-為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，則p_n-=(-)^n-1,p_n=(-)^n-1+,n∈N^*.令n=4，則p₄=(-)³+=.