Question

已知凼數f（x）=2cos²x-2sinxcosx+1
（1）求方程f（x）-1=0在x∈（0，π）內的所有解的和；
（2）把凼數y=f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位，使所得函數的圖象關于點（0，2）對稱，求m的最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式對函數f（x）的解析式化簡整理，根據f（x）-1=0，求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，進而求得x，則可得在x∈（0，π）內的所有解，進而求得之和．
（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，則可知g（x）的解析式，根據函數的圖象關于（0，2）對稱，進而求得m的集合，進而求得m的最小值．

解答： 解：（1）由題設得f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos（2x+

π

4

）+2，
∵f（x）-1=0，
∴

2

cos（2x+

π

4

）+2=1，
∴cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，
由2x+

π

4

=2kπ+

3π

4

或2kπ+

5

4

π，k∈Z．得x=kπ+

π

4

或kπ+

π

2

，
∵x∈（0，π）
∴x₁=

π

4

，x₂=

π

2

，
∴x₁+x₂=

3π

4

；
（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，
則g（x）=cos（2x+

π

4

+2m）+2，
∵y=g（x）的圖象關于點（0，2）對稱，
∴2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴2m=kπ+

π

4

，m=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，
∵m＞0，∴當k=0時，m取得最小值

π

8

．

點評：本題主要考查了二倍角公式，三角函數圖象的平移，及對稱性．考查了學生綜合把握三角函數知識的能力．