Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=2sin2x+sin（2x-B）（x∈R）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理和和差角的三角函數(shù)公式可得cosB，可得角B；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），易得函數(shù)最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（A+C），
∴由正弦定理可得sinBcosA=（2sinC+sinA）（-cosB），
∴sinBcosA+cosBsinA=-2sinCcosB，
∴sin（A+B）=-2sinCcosB，即sinC=-2sinCcosB，
約掉sinC可得cosB=-$\frac{1}{2}$，B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡可得f（x）=2sin2x+sin（2x-$\frac{2π}{3}$）
=2sin2x+sin2xcos$\frac{2π}{3}$-cos2xsin$\frac{2π}{3}$
=2sin2x-$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\frac{3}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z時，函數(shù)取最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的最值，屬中檔題．