Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x滿足f（x）=-f（x+2），且當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=x（2-x），若關(guān)于x的方程f（x）=kx有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是（10-4$\sqrt{6}$，2）．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，再將問題等價(jià)方程f（x）僅有唯一實(shí)數(shù)根，并結(jié)合函數(shù)的圖象與判別式得出k的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4為周期的函數(shù)，
因?yàn)�，�?dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x（2-x），
所以，x∈[-2，0]時(shí)，x+2∈[0，2]，
所以，f（x）=-f（x+2）=x（x+2），
∴f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（2-x），x∈[0，2]}\\{x（2+x），x∈[-2，0）}\end{array}\right.$，如右圖，
依題意，方程f（x）=kx有三個(gè)不等的實(shí)根，
則該方程一根為負(fù)，一根為正，一根為0，即f（x）=kx只有唯一一個(gè)正實(shí)數(shù)根，
當(dāng)x∈[4，6]時(shí)，x-4∈[0，2]，
所以，f（x）=f（x-4）=（x-4）（6-x），
令（x-4）（6-x）=kx，整理得，x²+（k-10）x+24=0，
由△=0，解得k=10-4$\sqrt{6}$（舍k=10+4$\sqrt{6}$），
此時(shí)，直線y=（10-4$\sqrt{6}$）x與f（x）的圖象相切，共有5個(gè)交點(diǎn)，如圖藍(lán)色直線，
所以，k＞10-4$\sqrt{6}$，------------------①
另一方面，函數(shù)f（x）=x（2-x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)為f'（0）=2，
即直線y=2x與f（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖紅色直線，
所以，k＜2，------------------------②
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，-2＜x-4＜0，f（x-4）=（x-4）（x-2），可得f（x）=f（x-4）=x²-6x+8，
由x²-6x+8=kx，可得判別式為（6+k）²-32=0，
解得k=4$\sqrt{2}$-6（-4$\sqrt{2}$-6舍去），
當(dāng)直線y=kx（k＜0）與y=f（x）相切可得4$\sqrt{2}$-6．
綜合以上討論得，k∈（10-4$\sqrt{6}$，2）．
故答案為：（10-4$\sqrt{6}$，2）∪{4$\sqrt{2}$-6}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，涉及函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題．