Question

已知函數(shù)，
(Ⅰ)當(dāng)a=1時，求f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)若在區(qū)間(1，+∞)上，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時，，
對于x∈[1，e]，有f′(x)＞0，
∴f(x)在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，
∴。
(Ⅱ)令，
在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方，等價于g(x)＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
∵，
令g′(x)=0，得，
①若，即時，
在區(qū)間(x₂，+∞)上有g(shù)′(x)＞0，在區(qū)間(1，x₂)上，g′(x)＜0，
此時g(x)在區(qū)間(x₂，+∞)上是增函數(shù)，在(1，x₂)為減函數(shù)，
并且在區(qū)間(1，+∞)上有g(shù)(x)∈(g(x₂)，+∞)，不合題意；
②當(dāng)，即a≥1時，在區(qū)間(1，+∞)上，g′(x)＞0，
故g(x)在區(qū)間(1，+∞)上是增函數(shù)，
所以g(x)在區(qū)間(1，+∞)上，有g(shù)(x)∈(g(1)，+∞），也不合題意；
③若a≤，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間(1，+∞)上，有g(shù)′(x)＜0，
從而g(x)在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù)，
要使g(x)＜0在此區(qū)間上恒成立，只需滿足，
由此求得a的范圍是，
綜上可知，當(dāng)a∈時，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方。