Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，A1A=AC=BC=1，A1B=

2

．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D為AB中點，求證：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

分析：（1）要證平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁，只需證明平面A₁BC內的直線BC，垂直平面ACC₁A₁內的兩條相交直線A₁A、A₁C即可；
（2）D為AB中點，連接AC₁交A₁C于O，連接OD，要證BC₁∥平面A₁CD，只需證明BC₁，平行平面A₁CD內的直線OD即可．

解答：證明：（1）因為∠A₁AC=60°，A₁A=AC=1，
所以△A₁AC為等邊三角形，所以A₁C=1，
因為BC=1，A₁B=

2

，所以A₁C²+BC²=A₁B²
所以∠A₁CB=90°，即 A₁C⊥BC
因為BC⊥A₁A，BC⊥A₁C，A₁A?平面ACC₁A₁，
A₁C?平面ACC₁A₁，A₁A∩A₁C=A₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，
因為BC?平面A₁BC
所以平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁
（2）連接AC₁交A₁C于O，連接OD
因為ACC₁A₁為平行四邊形，所以O為AC₁的中點
因為D為AB的中點，所以OD∥BC₁
因為OD?平面A₁CD，BC₁在平面A₁CD外
所以BC₁∥平面A₁CD．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．