Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)為81，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n，其前n項(xiàng)和S_n．
（1）證明{b_n}為等差數(shù)列；
（2）若S₁₁≠S₁₂，且S₁₁最大，求{b_n}的公差d的范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得b_n，再由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的單調(diào)性，可得{b_n}為遞減的數(shù)列，即公差d＜0，由b₁₁≥0，b₁₂＜0，即可得到公差d的范圍．

解答 （1）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則a_n=81q^n-1，
b_n=log₃a_n═log₃（81q^n-1）
=log₃81+log₃q^n-1=4+log₃q^n-1
=4+（n-1）log₃q，
即有b_n-b_n-1=log₃q，
則{b_n}為首項(xiàng)為4，log₃q為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可得{b_n}為首項(xiàng)為4，log₃q為公差d的等差數(shù)列，
又S₁₁≠S₁₂，且S₁₁最大，
即有l(wèi)og₃q＜0，①
b₁₁≥0，b₁₂＜0，即為4+10log₃q≥0，4+11log₃q＜0，
解得-$\frac{2}{5}$≤log₃q＜-$\frac{4}{11}$②
由①②可得，
-$\frac{2}{5}$≤log₃q＜-$\frac{4}{11}$．
即有{b_n}的公差d的范圍為[-$\frac{2}{5}$，-$\frac{4}{11}$）．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)，主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及單調(diào)性和最值，注意運(yùn)用數(shù)列的遞減性，屬于中檔題．