Question

在數(shù)列{a_n}中,a₁=,.

(1)求a₂,a₃,a₄;

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式,并予以證明.

Answer 1

分析：本題考查歸納、猜想及用數(shù)學(xué)歸納法證題的能力.如何利用歸納假設(shè)是本題成敗的關(guān)鍵.

解：(1)由題設(shè),得a₂==,a₃==,a₄=        

(2)猜測(cè):a_n=,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),已驗(yàn)證.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4)時(shí),公式成立,即

a_k=.         

∴a_k+1=

即(k+3)a_k+1=a₁+a₂+…+a_k-1+a_k

=a_k(2+3+…+k)+a_k

=a_k(1+2+3+…+k)=a_k·(k+1).

∴a_k+1==     

=

這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),公式也成立.

綜上①②可知,對(duì)任何正整數(shù)n,a_n=.