Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x+2}{x+1}$，指出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 分離常數(shù)，將原函數(shù)變成f（x）=1+$\frac{1}{x+1}$，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性即知f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減，用定義證明：在定義域內(nèi)任意設(shè)x₁＜x₂，然后作差，通分即可判斷x₁，x₂∈（-∞，-1），和x₁，x₂∈（-1，+∞）時(shí)的f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，從而證明出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：f（x）=$\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$；
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減，用定義證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，則：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}+1}-\frac{1}{{x}_{2}+1}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∴x₁＜x₂＜-1，或-1＜x₁＜x₂時(shí)，x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0；
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 考查反比例函數(shù)的單調(diào)性，分離常數(shù)法的運(yùn)用，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后是分式的一般通分．