Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值為f（a），
（1）當(dāng)a=1，求y=f（x）的最小值；
（2）若a∈R，求y=f（x）的最小值f（a）
（3）試確定滿足f(a)=

1

2

的a的值，并對此時的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用配方法，即可求y=f（x）的最小值；
（2）先換元，再利用配方法，分類討論，可得y=f（x）的最小值f（a）
（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合足f(a)=

1

2

，求出a的值，從而可求y的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=2cos²x-2cosx-3=2（cosx-

1

2

）²-

7

2

∴當(dāng)cosx=

1

2

，即x=2kπ±

π

3

（k∈Z）時，y_min=-

7

2

；
（2）令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=2t²-2at-（2a+1），對稱軸為t=

a

2

①當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，y_min=1；
②當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減，y_min=-4a+1；
③當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，函數(shù)在[-1，

a

2

）上單調(diào)遞減，在（

a

2

，1]上單調(diào)遞增，y_min=-

a2

2

-2a-1；
∴y=f（x）的最小值f（a）=

1，a＜-2 - a2 2 -2a-1，-2≤a≤2 -4a+1，a＞2

；
（3）①a＜-2時，y_min=1≠

1

2

；
②a＞2時，y_min=-4a+1=

1

2

，∴a=

1

8

，與a＞2矛盾；
③-2≤a≤2時，y_min=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，∴a=-1或a=-3（舍去）
∴a=-1，此時y_max=-4a+1=5．

點評：本題考查函數(shù)的最值，考查配方法的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．