Question

19．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_3}x}|，0＜x＜3\\ sin（{\frac{π}{6}x}），3≤x≤15\end{array}$，若存在實數x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{{{x_1}{x_2}}}$的值等于（　�。�

• A． 18π
• B． 18
• C． 9π
• D． 9

Answer 1

分析 畫出函數f（x）的圖象，確定x₁x₂=1，x₃+x₄=18，求解即可．

解答 解：當3≤x≤15，時，f（x）=sin$\frac{π}{6}$x，當0＜x＜3時，f（x）=|log₃x|
則函數的圖象如圖，
則0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜x₄，且x₃，x₄，關于x=9對稱，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₃x₁=log₃x₂，
∴l(xiāng)og₃x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=18，
∴$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{{{x_1}{x_2}}}$=18，
故選：B

點評 本題考查分段函數的圖象畫法、函數的值域的應用、函數與方程的綜合應用等基礎知識，考查運算求解能力，數形結合能力、化歸與轉化思想，屬于中檔題