Question

（理做） 一工廠有舊墻一面長(zhǎng)14米，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126米2的廠房，工程條件是：
（1）建1米新墻的費(fèi)用為100元；
（2）修1米舊墻的費(fèi)用為25元；
（3）拆去1米舊墻用所得的材料建1米新墻的費(fèi)用為50元． 今討論，有兩種方案：（一）利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長(zhǎng)；（二）矩形廠房的一面邊長(zhǎng)為x米 （x≥14）．設(shè)建墻費(fèi)用y元．問(wèn)：
（1）用方案（一），x為多少時(shí)建墻費(fèi)用最��？
（2）用方案（二），x為多少時(shí)建墻費(fèi)用最�。�
（3）用（一）、（二）兩種方案中哪種方案最好？

Answer 1

分析：（1）拆去的舊墻的長(zhǎng)為14-x，所以建新墻的長(zhǎng)為：

126

x

+

126

x

+x-(14-x)，故可得y=100[2(x+

126

x

)-14]+25x+50(14-x)（0＜x＜14），利用基本不等式可求建墻費(fèi)用最�。�
（2）y=100[2(x+

126

x

)-14]+25×14（x≥14），利用y在[14，+∞）上為增函數(shù)，可求建墻費(fèi)用最��；
（3）兩方案比較，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵拆去的舊墻的長(zhǎng)為14-x，
∴建新墻的長(zhǎng)為：

126

x

+

126

x

+x-(14-x)，
∴y=100[2(x+

126

x

)-14]+25x+50(14-x)
∴y=175(x+

144

x

)-4   （0＜x＜14）…（4分）
∴y≥175(2

144

-4)=3500
當(dāng)且僅當(dāng)x=12∈（0，14）時(shí)建墻費(fèi)用最省為3500元．…（6分）
（2）y=100[2(x+

126

x

)-14]+25×14
∴y=200(x+

126

x

)-1050(x≥14)          …（9分）
∵y在[14，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)x=14時(shí)建墻費(fèi)用最省為3550元．     …（11分）
（3）用方案（二）最好                        …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案優(yōu)化問(wèn)題，考查函數(shù)最值的求解方法，屬于中檔題．