Question

已知橢圓的上下焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個端點(diǎn)為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）已知直線l的方向向量為（1，），若直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．
（3）過點(diǎn)T（1，0）作直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若．證明：λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)及參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可得出；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出；
（3）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等即可證明．
解答：解：（1）由題意可得：
a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，
∴橢圓方程為．
（2）∵直線l的方向向量為（1，），
∴可設(shè)直線l的方程為，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡得，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8．（*）
∴，．
∴|PQ|==．
又點(diǎn)O到PQ的距離為，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)2m²=16-2m²，即m=±2時取等號，且滿足（*）式．
所以△OPQ面積的最大值為．
（3）依題意知，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅）
則M、N滿足消去y化為（2+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
易知△＞0，∴，．
∵，∴（x₃，y₃-y₅）=λ（1-x₃，y₃），
∵x₃≠1，∴，
同理．
∴λ+μ═==-4．
∴λ+μ為定值-4．
點(diǎn)評：熟練掌握正方形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、向量相等是解題的關(guān)鍵．