Question

已知動圓M與圓C₁：（x+4）²+y²=2外切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2內切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

分析：根據兩圓外切和內切的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關系，設出動圓半徑為r，消去r，根據圓錐曲線的定義，即可求得動圓圓心M的軌跡，進而可求其方程．

解答：解：設動圓圓心M（x，y），半徑為r，
∵圓M與圓C₁：（x+4）²+y²=2外切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2內切，
∴|MC₁|=r+

2

，|MC₂|=r-

2

，
∴|MC₁|-|MC₂|=2

2

＜8，
由雙曲線的定義，可得a=

2

，c=4；則b²=c²-a²=14；
∴點M的軌跡是以點C₁，C₂為焦點的雙曲線的一支，
∴動圓圓心M的軌跡方程：

x2

2

-

y2

14

=1(x≥

2

)．

點評：考查兩圓的位置關系及判定方法和雙曲線的定義和標準方程，特別注意是軌跡是雙曲線的一支還是雙支，這是學生在解題中最易忽視的地方，屬中檔題．