Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；
（2）若x∈[0，3a]，試求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

（1）f′（x）=-x²+4ax-3a²．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：

x	（-∞，a）	a	（a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	- 4 3 a3+b	遞增	b	遞減

由表可知：當(dāng)x∈（-∞，a）時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（3a，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）也為減函數(shù)；當(dāng)x∈（a，3a）時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，a），（3a，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（a，3a）．當(dāng)x=a時(shí)，f（x）的極小值為-

4

3

a³+b；當(dāng)x=3a時(shí)，f（x）的極大值為b．
（2）x∈[0，3a]，列表如下：

x	0	（0，a）	a	（a，3a）	3a
f′（x）		-	0	+	0
f（x）	b	遞減	- 4 3 a3+b	遞增	b

由表知：當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（a，3a）時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=a時(shí)，f（x）的最小值為-

4

3

a³+b；當(dāng)x=0或x=3a時(shí)，f（x）的最大值為b．