Question

13．已知函數f（x）為定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=3•2^x-2^-x．
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）若f（mx²+1）+f（3x-2x²）≥0對x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意已知當x＞0時f（x）=3•2^x-2^-x，討論當x＜0時和當x=0時的解析式即可f（x）在R上的解析式．
（2）f（x）為定義在R上的奇函數，等價于f（mx²+1）≥f（-3x+2x²）對x∈R恒成立，根據f（x）的單調性，轉化成不等式求解實數m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：f（x）為定義在R上的奇函數，
當x＞0時，f（x）=3•2^x-2^-x，
那么：當x＜0時，則-x＞0，
則有：f（-x）=3•2^-x-2^x=-f（x），
∴f（x）=2^x-3•2^-x
當x=0時，f（x）=0
所以函數f（x）在R上的解析式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3•{2}^{x}-{2}^{-x}，（x＞0）}\\{2，（x=0）}\\{{2}^{x}-3•{2}^{-x}，（x＜0）}\end{array}\right.$
（2）由題意，當x＞0時，f（x）=3•2^x-2^-x，可知f（x）在（0，+∞）是單調增函數．
根據奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同，可知f（x）在（-∞，0）也是單調增函數．
∴f（x）為定義在R上是增函數．
f（mx²+1）+f（3x-2x²）≥0對x∈R恒成立，等價于f（mx²+1）≥f（-3x+2x²）對x∈R恒成立．
即：mx²+1≥-3x+2x²對x∈R恒成立．
化簡：（m-2）x²+3x+1≥0，對x∈R恒成立，則有：$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{△{=b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{9-4（m-2）≤0}\end{array}\right.$，解得：m$≥\frac{17}{4}$．
故實數m的取值范圍為[$\frac{17}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了分段函數解析式的求法和單調性的運用解恒成立的問題．屬于中檔題．