Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）對函數求導研究函數的單調性，通過導函數的正負得到原函數的單調區(qū)間；（2）對任意恒成立，即對任意恒成立，令，對這個函數求導研究函數的單調性，使得最值大于0即可.

解析；

（1），定義域

所以.

討論：

當時，對或，成立，

所以函數在區(qū)間，上均是單調遞增；

當時，對或，成立，

所以函數 在區(qū)間，上均是單調遞減；

當時，函數是常函數，無單調性.

（2）若，對任意恒成立，即對任意恒成立.

令，則.

討論：

①當，即時，且不恒為0，

所以函數在區(qū)間單調遞增.

又，所以對任意恒成立.

故符合題意

②當時，令得；令，得.

所以函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

所以，即當時，存在，使.

故知對任意不恒成立，故不符合題意.

綜上實數的取值范圍是.