Question

在邊長為3的正三角形ABC中，E、F、G分別是AB、BC、CA邊上的點(diǎn)，滿足(如圖1).將△AEG沿EG折起到△A₁EG的位置，使二面角A₁EGB的大小為60°，連結(jié)A₁B,A₁F(如圖2).

                  

圖1                                    圖2

(1)求證：EG⊥A₁B;

(2)求直線A₁B與平面BEF所成的角；

(3)求四棱錐A₁—BCGE的體積.

Answer 1

答案：(1)證明：在圖1中AE=1，CF=CG=1，EB=BF=AG=2.

在△AEG中，AE=1，AG=2，∠A=60°.

∴EG²=1²+2²-2×1×2cos60°=3=AG²-AE²,

∴△AEG是直角三角形，AE⊥EG，BE⊥EG，于是圖2中A₁E⊥EG，BE⊥EG，又A₁E∩BE=E.

∴EG⊥平面A₁BE，又∵A₁B平面A₁BE,

∴EG⊥A₁B.                                                                 

           

圖1                      圖2

(2)解：∵A₁E⊥EG，BE⊥EG,∴∠A₁EB是二面角A₁EGB的平面角.由題設(shè)，∠A₁EB=60°.

在△A₁BE中，A₁E=1，BE=2，∠A₁EB=60°,∴A₁B²=1²+2²-2×1×2cos60°=3=BE²-A₁E²,

∴△A₁BE是直角三角形，∴∠EA₁B=90°.5分

作A₁H⊥BE于H.

∵EG⊥平面A₁BE,又A₁H平面A₁BE,

∴EG⊥A₁H.

又A₁H⊥BE,EG∩BE=E,∴A₁H⊥平面BEGF于H.

∴∠A₁BH是直線A₁B與平面BEF所成的角.

在Rt△A₁BE中∠A₁EB=60°,∴∠A₁BH=30°.9分

(3)解：A₁H·S_BCGE=A₁H(S_△ABC-S_△AEG)=.