Question

已知兩點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），點(diǎn)P（x，y）是直角坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，若將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大到倍后得到點(diǎn)Q（x，）滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)B作斜率為的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且滿足，又點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，試問四點(diǎn)M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定向量AQ，BQ的坐標(biāo)，利用，即可得到動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程；
（2）假設(shè)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量知識(shí)，確定M，N，G，H的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）依據(jù)題意，有，
∵，
∴x²-1+2y²=1．
∴動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程是．
（2）因直線l過點(diǎn)B，且斜率為k=-，故有l(wèi)：y=-．
聯(lián)立方程組，得2x²-2x-1=0．
設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=．
又，點(diǎn)G與點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
于是，可得點(diǎn)H（-1，-）、G（1，）．
若線段MN、GH的中垂線分別為l₁和l₂，則有l(wèi)₁：y-=（x-），l₂：．
聯(lián)立方程組，解得l₁和l₂的交點(diǎn)為O₁（，-）．
因此，可算得|O₁H|==，|O₁M|==．
所以，四點(diǎn)M、G、N、H共圓，圓心坐標(biāo)為O₁（，-），半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查四點(diǎn)共圓，正確運(yùn)用向量知識(shí)，確定圓心坐標(biāo)與半徑是關(guān)鍵．