Question

9．某山體外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為開發(fā)山體資源，修建一條連接兩條公路沿山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為l₁，l₂，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為L．如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l₁，l₂的距離分別為5千米和80千米，點N到l₁的距離為100千米，以l₁，l₂ 所在的直線分別為x、y軸建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數y=$\frac{a}{x}$模型（其中a為常數）．
（1）設公路L與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t．
①請寫出公路L長度的函數解析式f（t），并寫出其定義域；
②當t為何值時，公路L的長度最短？求出最短長度．
（2）在公路長度最短的同時要求美觀，需在公路L與山體之間修建綠化帶（如圖陰影部分），求綠化帶的面積．

Answer 1

分析 （1）①由題知M（5，80）代入y=$\frac{a}{x}$，則a=400，進而求出y=$\frac{400}{x}$，得出坐標N（100，4），利用導數求出斜率，得出直線的方程$y=-\frac{400}{t^2}x+\frac{800}{t}$，進而求出與坐標軸的交點A（0，$\frac{800}{t}$），B（2t，0），利用勾股定理可得$f（t）=\sqrt{{{（\frac{800}{t}）}^2}+{{（2t）}^2}}$（t∈[5，100]）；
②運用基本不等式可得最小值，注意求出等號成立的條件；
（2）山體與x=5，x=100之間的面積為$\int_5^{100}{\frac{400}{x}dx}=400ln20$，得出山體與L₁、L₂圍成的面積是400+400ln20，進而得出綠化帶的面積是400+400ln20-800=400ln20-400．

解答 解：（1）①由題意M（5，80）代入y=$\frac{a}{x}$，則a=400，
∴y=$\frac{400}{x}$，N（100，4），
∴定義域為[5，100]．
∴P（t，$\frac{400}{t}$），
∵$y'=-\frac{400}{x^2}$，則公路l的方程：$y=-\frac{400}{t^2}x+\frac{800}{t}$，
令x=0，可得y=$\frac{800}{t}$；令y=0，可得x=2t．
∴$f（t）=\sqrt{{{（\frac{800}{t}）}^2}+{{（2t）}^2}}$（t∈[5，100]）；
②A（0，$\frac{800}{t}$），B（2t，0），
$f（t）=\sqrt{{{（\frac{800}{t}）}^2}+{{（2t）}^2}}$=$\sqrt{\frac{640000}{t^2}+4{t^2}}≥3200$，
當且僅當t=20∈[5，100]時等號成立，
所以當t為20時，公路l的長度最短長度是3200千米；
（2）山體與x=5，x=100之間的面積為
${∫}_{5}^{100}$$\frac{400}{x}$dx=400lnx|${\;}_{5}^{100}$=400（ln100-ln5）=400ln20，
山體與L₁、L₂圍成的面積是400+400ln20，
L與y，x軸交點分別是A（0，40），B（40，0），公路與L₁、L₂圍成的面積是800，
所以綠化帶的面積是400+400ln20-800=400ln20-400（平方公里）．
答：當t為20時，公路L的長度最短，最短長度是3200千米；
在公路長度最短時，需在公路L與山體之間修建綠化帶的面積是400ln20-400平方公里．

點評 本題考查了利用導數求直線方程和積分的應用，考查運算求解能力，難點是對題意的理解．