Question

已知兩點(diǎn)P（-1，0），Q（1，0），直線PG，QG相交于點(diǎn)G，且它們的斜率之積是3，設(shè)點(diǎn)G的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過定點(diǎn)F（2，0）的直線交曲線E于B，C兩點(diǎn)，直線PB、PC分別交直線x=

1

2

于點(diǎn)M，N，試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用直線PG，QG相交于點(diǎn)G，且它們的斜率之積是3，建立方程，即可求曲線E的方程；
（2）分類討論，證明

FM

•

FN

=0，即FM⊥FN，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y），
則直線PG的斜率kPG=

y

x+1

(x≠-1)，
直線QG的斜率kQG=

y

x-1

(x≠1)
由已知有

y

x+1

•

y

x-1

=3(x≠±1)
化簡整理得，點(diǎn)G的軌跡方程為x2-

y2

3

=1(x≠±1)
（2）①當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，該方程為x=2，則B（2，3），C（2，-3）
PB的方程為y=x+1，因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

1

2

，

3

2

)，

FM

=（-

3

2

，

3

2

）
同理可得

FN

=（-

3

2

，-

3

2

）
因此

FM

•

FN

=(-

3

2

)2+

3

2

×(-

3

2

)=0
②當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y=k（x-2）（k≠0）
與雙曲線x2-

y2

3

=1聯(lián)立消去y得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
由題意知3-k²≠0且△＞0
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則x₁+x₂=

4k2

k2-3

，x₁x₂=

4k2+3

k2-3

，
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=k²（

4k2+3

k2-3

-2×

4k2

k2-3

+4）=

-9k2

k2-3

因?yàn)閤₁≠-1，x₂≠-1，所以直線PB的方程為y=

y1

x1+1

（x+1）
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，

3y1

2(x1+1)

）

FM

=（-

3

2

，

3y1

2(x1+1)

），同理可得

FN

=（-

3

2

，

3y2

2(x2+1)

）
因此

FM

•

FN

=

9

4

+

-81k2 k2-3

4( 4k2+3 k2-3 + 4k2 k2-3 +1)

=0
綜上

FM

•

FN

=0，即FM⊥FN
故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識，屬于中檔題．