Question

20．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為棱長為1的正三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，點D在棱BB₁上，且BD=1，若AD與平面AA₁C₁C所成的角為α，則sinα的值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，分別取AC，A₁C₁的中點O，O₁，連接OO₁，取OE=1，連接DE，B₁O₁，AE．利用等邊三角形的性質(zhì)與直棱柱的性質(zhì)可得：BO⊥側(cè)面ACC₁A₁．四邊形BODE是矩形．DE⊥側(cè)面ACC₁A₁．因此∠DAE是AD與平面AA₁C₁C所成的角，為α，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，
分別取AC，A₁C₁的中點O，O₁，連接OO₁，取OE=1，連接DE，B₁O₁，AE．
∴BO⊥AC，
∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱．
由直棱柱的性質(zhì)可得：BO⊥側(cè)面ACC₁A₁．
∴四邊形BODE是矩形．
∴DE⊥側(cè)面ACC₁A₁．
∴∠DAE是AD與平面AA₁C₁C所成的角，為α，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=OB．
AD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
在Rt△ADE中，sinα=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了直棱柱的性質(zhì)、空間角、空間位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．