Question

已知(1+3x)ⁿ的展開(kāi)式中,末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121,求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)及其二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

Answer 1

解:末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、、,由題設(shè),得++=121,

即++1=121.∴n²+n-240=0.

∴n=15(n=-16舍去).∵T_r+1=(3x)^r=·3^rx^r，

設(shè)T_r+1項(xiàng)與T^r項(xiàng)的系數(shù)分別為t_r+1與t_r,

則t_r+1=3^r,t_r=·3^r-1.令＞1,

即＞1,解得r＜12.

也就是說(shuō),當(dāng)r取小于12的自然數(shù)時(shí),

都有t_r＜t_r+1,即第12項(xiàng)以前的各項(xiàng),前面一項(xiàng)的系數(shù)都比后面一項(xiàng)的系數(shù)小.

又當(dāng)r=12時(shí),t_r+1=t_r,即t₁₃=t₁₂,

∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T₁₂=·3¹¹·x¹¹,T₁₃=·3¹²·x¹².

當(dāng)n=15時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第8,9項(xiàng),分別為·3⁷·x⁷與·3⁸·x⁸.