Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）的范圍為.

【解析】本試題主要考查了橢圓方程的求解，已知直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于參數(shù)a,b,c的關(guān)系式，從而解得

（2）設(shè)出直線方程與已知的橢圓方程聯(lián)立，借助于韋達(dá)定理和向量的加法公式，得到坐標(biāo)關(guān)系，和判別式，從而得到參數(shù)的取值范圍

（Ⅰ）由題意知， 所以．即．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415334440929536/SYS201208241534168935536198_DA.files/image007.png">，所以，．故橢圓的方程為．  5分

（Ⅱ）由題意知的斜率存在.設(shè)：，，，，

由得. ∴， ，且，解得.    8分

∵   ∴，

解得，.  

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，∴.   10分

∴  而∴，∴的范圍為