Question

已知正四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，高為．M為線段PC的中點．
（Ⅰ） 求證：PA∥平面MDB；
（Ⅱ） N為AP的中點，求CN與平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接MO，可得MO是△PAC的中位線，再根據(jù)線面平行的判定定理可得結論．
（2）令NC∩MO=Q，先證明PC⊥平面BMD，再根據(jù)三角形的中位線定理求出MQ的長，可得∠MQC是直線NC與平面BMD所成的角，在Rt△CMQ中求出即可．
解答：證明：（1）如圖所示，連接AC交BD于O，連接MO．
在△PAC中，OM為中位線，∴OM∥PA．
∴
∴PA∥平面MDB．
（2）令NC∩MO=Q．連接PO．
∵此四棱錐P-ABCD是正四棱錐，∴PO⊥底面ABCD．
在Rt△AOP中，=2．
同理PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA=2．
∵M是PC中點，∴在△PDC中，DM⊥PC．
同理，在△PBC中，BM⊥PC．
在平面BMD中，BM∩DM=M．
∴PC⊥平面MDB．
∴∠CQM為CN與平面MBD所成角的平面角．
∵M是線段PC的中點，∴MC=1．
由（1）可知：PA∥平面BMD，平面PAC∩平面BMD=OM．
∴PA∥MO，
又∵PM=MC，∴OM是△PAC的中位線，∴MQ=PN=．
在Rt△CMQ中，tan∠CQM==2．
CN與平面MBD所成角的正切值是2．
點評：掌握線面平行、垂直的判定定理和性質定理、線面角是解題的關鍵．利用三角形的中位線定理是證明線線平行常用的方法之一．