Question

20．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列數(shù)列{a_n}，a₃=8，a₅=32．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，記數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列的通項公式求出公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由已知得數(shù)列{c_n}的通項公式，利用裂項求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，a₃=8，a₅=32.8q²=32，
解得q=2，
可得a₃=q²a₁，a₁=2，
∴由${a_1}=2，q=2∴{a_n}={2^n}$．
（2）b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$，
可得：${T_n}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．