Question

已知函數(shù)，x＞0．

　�。á瘢�f（x）在區(qū)間（0，＋∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明之；

　�。á颍┤舢�(dāng)x＞0時(shí)，恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ） 　　　　　　   ∵  ，  ∴  ，，，  ∴  ． 　　　　　　   因此在區(qū)間（0，＋∞）上是減函數(shù)． 　�。á颍┓椒ㄒ唬寒�(dāng)時(shí)，恒成立． 　　　　  令，，  ∴  正整數(shù)k不大于3． 　　　　  以下證k＝3時(shí)，恒成立． 　　　　  即證恒成立． 　　　　  設(shè)，則． 　　　　  當(dāng)x＝e－1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 　　∴  當(dāng)x＝e－1時(shí)，取得最小值， 　　∴  當(dāng)時(shí)， 　　恒成立． 　　故所求正整數(shù)k的最大值為3． 　　方法二：對(duì)恒成立．即對(duì)x＞0恒成立． 　　記，只需k小于的最小值． 　　 　　　　 ＝ 　　令，， 　　記，則， 　　∴  在（0，＋∞）上增．， 　　，∴  有惟一實(shí)根． 　　． 　　從而有 x （0，a） a (a,＋∞) － 0 ＋ 減 極小值 增 　　故在（0，＋∞）的最小值為． 　　，，故所求正整數(shù)k的最大值為3．