Question

15．設(shè)直線$l：x=-\frac{a^2}{c}$與雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，左焦點(diǎn)F（-c，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\sqrt{2}）$
• B． $（1，\sqrt{2}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• D． $（\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 求出漸近線方程及準(zhǔn)線方程；求得它們的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；利用圓內(nèi)的點(diǎn)到圓心距離小于半徑，列出參數(shù)a，b，c滿足的不等式，求出離心率的范圍．

解答 解：雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的漸近線y=±$\frac{a}$x，準(zhǔn)線x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
求得A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
左焦點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，
得出-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c＜$\frac{ab}{c}$，
∴b＜a，
∴c²＜2a²
∴1＜e＜$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的準(zhǔn)線、漸近線方程形式、考查圓內(nèi)的點(diǎn)滿足的不等條件、注意雙曲線離心率本身要大于1．