Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：Sn=

a 2 n -2an+2

2an

，且a_n＞0，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）利用a1=S1=

a 1 2 -2a1+2

2a1

求出a₁，由Sn=

a n 2 -2an+2

2an

．求得a₂，同理求得 a₃．
（2）猜想an=

2n+1

-

2n-1

，n∈N₊，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)ak=

2k+1

-

2k-1

，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可解出 ak+1=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

，故n=k+1時(shí)，猜想仍然成立．

解答：解：（1）a1=S1=

a 2 1 -2a1+2

2a1

，所以，a1=-1±

3

，又∵a_n＞0，所以a1=

3

-1.S2=a1+a2=

a2

2

+

1

a2

-1，所以 a2=

5

-

3

，S3=a1+a2+a3=

a3

2

+

1

a3

-1所以a3=

7

-

5

．
（2）猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知a1=

3

-1成立．2°假設(shè)n=k（k∈N₊）時(shí)，ak=

2k+1

-

2k-1

成立ak+1=Sk+1-Sk=(

ak+1

2

+

1

ak+1

-1)-(

ak

2

+

1

ak

-1)=

ak+1

2

+

1

ak+1

-

2k+1

．
所以

a

2 k+1

+2

2k+1

ak+1-2=0ak+1=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
綜上可知，猜想對(duì)一切n∈N₊都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，立即可得到所有的正整數(shù)n都成立，必須用上假設(shè)．