Question

如圖,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點(diǎn),動點(diǎn)P滿足:||PM|-|PN||=2.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)設(shè)d為點(diǎn)P到直線l:x=的距離,若|PM|=2|PN|²,求的值.

Answer 1

(1)解:由雙曲線的定義,點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn),實(shí)軸長2a=2的雙曲線,因此半焦距c=2,實(shí)半軸a=1,從而虛半軸b=.

所以雙曲線的方程為x²=1.

(2)解法一:由(1)及圖(1),易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|²,                                   ①

(1)?

知|PM|＞|PN|,故P為雙曲線右支上的點(diǎn),所以|PM|=|PN|+2.                            ②

將②代入①,得2|PN|²-|PN|-2=0,解得|PN|=,舍去,所以|PN|=.

因?yàn)殡p曲線的離心率e==2,直線l:x=是雙曲線的右準(zhǔn)線,故=e=2,所以d=|PN|,

因此===4|PN|=1+.

解法二:設(shè)P(x,y).因|PN|≥1知|PM|=2|PN|²≥2|PN|＞|PN|,故P在雙曲線右支上,所以x≥1.由雙曲線方程有y²=3x²-3,

因此|PM|====2x+1.

|PN|===.

從而由|PM|=2|PN|²得2x+1=2(4x²-4x+1),即8x²-10x+1=0.

所以x=(舍去x=).

有|PM|=2x+1=,d=x-=.

故=·=1+.