Question

已知兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，問它們有多少相同的項？并求所有相同項的和.

Answer 1

剖析一:兩個等差數(shù)列的相同的項按原來的先后次序組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù).

解法一:設(shè)兩個數(shù)列相同的項按原來的前后次序組成的新數(shù)列為{a_n}，則a₁=11.

    ∵數(shù)列5，8，11，…與3，7，11，…公差分別為3與4，∴{a_n}的公差d=3×4=12.

    ∴a_n=12n-1.

    又∵5，8，11，…與3，7，11，…的第100項分別是302與399，∴a_n=12n-1≤302,即n≤25.5.

    又n∈N^*，∴兩個數(shù)列有25個相同的項.

    其和S₂₅=11×25+×12=3 875.

剖析二:由條件可知兩個等差數(shù)列的通項公式，可用不定方程的求解方法來求解.

解法二:設(shè)5，8，11，…與3，7，11，…分別為{a_n}與{b_n}，則a_n=3n+2,b_n=4n-1.

    設(shè){a_n}中的第n項與{b_n}中的第m項相同,

    即3n+2=4m-1,∴n=m-1.

    又m、n∈N^*，∴設(shè)m=3r(r∈N^*),

    得n=4r-1.

    根據(jù)題意得

    解得1≤r≤25(r∈N^*).

    從而有25個相同的項，且公差為12,

    其和S₂₅=11×25+×12=3 875.